Персональный сайт

Аникиной Анастасии Юрьевны

Мои разработки

   

Элективный курс

 

Решение рациональных уравнений и неравенств.

 

Пояснительная записка

 

Курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся девятых классов. Тема курса «Рациональные уравнения и неравенства». Этот курс расширит и углубит знания по этой теме. В этом курсе учащиеся познакомятся со свойствами квадратного трехчлена, со способами решения и исследования квадратных уравнений и неравенств, с методами решения рациональных уравнений высших степеней, рациональных неравенств, а также уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Материал данного курса служит основой для изучения многих понятий алгебры.

Задачи, связанные с решением рациональных уравнений и неравенств, являются неотъемлемой частью ЕГЭ, а также вступительного экзамена по математике в любой ВУЗ.

 

Основные цели курса

 

u закрепление знаний свойств квадратного трехчлена и умение применять их

u знакомство учащихся с более глубокими понятиями и свойствами квадратного трехчлена

u изучение новых теорем, используемых для решения многих задач с параметрами для квадратичной функции

u более глубокое и полное изучение рациональных уравнений

u знакомство с возвратными уравнениями и методами их решения

u более детальное изучение рациональных неравенств

u расширение знаний решения уравнений с модулем, рациональных неравенств с модулем

u развитие навыков применения теоретических знаний по данной теме в различных задачах.

 

 

Задачи

 

1.     повторение и обобщение знаний по теме «Рациональные уравнения и неравенства»

2.     изучение нового материала по теме «Рациональные уравнения и неравенства» для более полной и углубленной подготовки к ЕГЭ

3.     помощь учащимся в оценке своих способностей с точки зрения образовательной перспективы.

 

 

Особенностью курса является:

 

u знакомство учащихся с более глубокими понятиями, связанными с квадратным трехчленом

u рассмотрение и предостережение от различных ошибок, встречающихся у школьников и абитуриентов при решении задач, связанных с квадратным трехчленом и квадратичной функцией

u знакомство учащихся с возвратными уравнениями и методами их решений

u более детальное и глубокое изучение решений уравнений и неравенств с модулями

u знакомство с различными заданиями по данной теме, встречаемых на ЕГЭ, а также на вступительных экзаменах в ВУЗы.

 

Основные формы деятельности – групповая, индивидуальная и в парах. Эти формы помогут учащимся более полно раскрыть себя, снимут страх и робость в общении.

 

Формы уроков

 

u беседа

u исследование

u семинар

u лекция

u взаимообучение

u самообразование

u защита

 

Курс рассчитан на 17 часов и предполагает занятия 2 раза в неделю в течении двух месяцев.

Учебно-тематическое планирование

         №

Тема занятий

Количество часов

Форма деятельности

 

      1

Квадратный трехчлен

           2+1

Беседа, практическая работа, составление справочных таблиц.

      2

Рациональные уравнения

           2+1

Семинарское занятие, работа в группах, индивидуальная работа, составление справочных таблиц.

     3

Возвратные уравнения

            1

Лекция, практическая работа.

      4

Рациональные неравенства

           2+1

Практическая работа. Работа в парах. Взаимозачет. Составление справочных таблиц.

       5

Уравнения с модулем

          2+1

Исследовательская работа в группах. Работа с учебными пособиями.

       6

Рациональные неравенства с модулем

           2+1

Лекция. Практическая работа. Индивидуальная работа.

       7

Заключительное занятие

           1

Тестирование.

  

Содержание курса

 

ТЕМА 1. Квадратный трехчлен

Определение. Основные понятия. Опорные теоремы. Применение свойств квадратного трехчлена в различных задачах.

Квадратным трехчленом называется выражение

ax2+bx+c,   a ? 0

Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При а < 0 ветви этой параболы направлены вниз, а при а > 0 ветви направлены вверх.

Выражение  x2+px+q  называется приведенным  квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта  D = b2-4ac  имеют место различные случаи расположения параболы относительно оси абсцисс Ox:

u при D > 0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ox (два различных корня трехчлена);

u при D = 0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень  трехчлена);

u при D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (и нет корней трехчлена).

В последнем случае, если a > 0. то парабола целиком лежит выше оси Ох, а если        a < 0 – целиком ниже оси Ох.

Некоторые свойства квадратного трехчлен. Выделяя полный квадрат, получим формулу

ax2+bx+c = a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a.

Теорема Виета. Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ax2+bx+c и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения

    x1+х2 = -b/a,

    x1*x2 = c/a.

Обратная теорема Виета. Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -p, x1*x2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2+px+q = 0

Теорема Виета может успешно  применяться при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений D=b2-4ac ? 0, x1x2=c/a>0,при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выявляется условие x1+x2=-b/a > 0; и оба корня будут отрицательны  если x1+x2=-b/a < 0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратичного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x1x2=c/a < 0.

Пример 1. Решить неравенство x2+5x+7 > 0.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ax2+13x+1 = 0 имеет два различных решения.

Пример 3. Не решая уравнения x2+13x+45 = 0. найти сумму квадратов его корней.

Пример 4. Найти значение параметра m, при каждом из которых уравнение 2x2+3x+m = 0 имеет два различных корня.

Пример 5. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения x2+(4a+5)x+3-2a = 0?

 

ТЕМА 2. Рациональные уравнения.

Определение. Основные приемы решения рациональных уравнений. Понятие равносильности преобразований уравнений.

Большое количество ошибок при решении  задач данного  раздела связано с неравносильными преобразованиями, следствием чего является приобретение или потеря решений.

Наиболее простыми рациональными уравнениями являются линейные и квадратные уравнения.  Их решение можно записать в общем виде. Поэтому естественны попытки приводить более сложные уравнения к более простым.  

Пример 1. Решить уравнение x4+x2-6 =0.

Пример 2. Решить уравнение (x2+x-1)(x2+x+1) = 0.

Пример 3. Решить уравнение x(x+1)(x+2)(x+3) = - ?.

ТЕМА 3. Возвратные уравнения.

Определение. Методы решения. Применение теоремы Безу.

Уравнение вида

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

an-k = an при k = 0, 1,…, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида

ax4+bx3+cx2+bx+a = 0,

где a, b, c – некоторые числа, причем а ? 0.  Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

- разделить левую и правую части уравнения на х2. При этом не происходит потери решения,  так как х = 0 не является корнем исходного уравнения при а ? 0;

- группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x2+1/x2)+b(x+1/x)+c = 0;

- ввести новую переменную t = x+1/x, тогда выполнено

t2 = x2+2+1/x2, то есть x2+1/x2 = t2-2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2+bt+c-2a = 0;

- решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней вены следующие утверждения.

Возвратное уравнение четной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой x+1/x = t.

Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х+1, приводится к возвратному уравнению четной степени.

Теорема о делении многочлена с остатком. Для любых двух многочленов P(x) и  Q(x) существуют единственные многочлены F(x) и R(x) такие, что выполняются следующие условия

1)    P(x) = Q(x)*F(x)+R(x);

2)    степень многочлена R(x) меньше степени многочлена-делителя.

Следствия из теоремы о делимости многочленов.

Следствие 1 (Теорема Безу). Если многочлен Р(х) разделить на двучлен (х-а), то остатком от деления  будет число, равное значению многочлена Р(х) при х = а, т. е. Р(а):

P(x) = (x-a)Q(x)+P(a).

Следствие 2. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на двучлен (х-а) нацело.

Следствие 3. Если многочлен Р(х) с целыми коэффициенты имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пример 1. Решить уравнение x4-5x3+6x2-x+1 = 0.

Пример 2. Решить уравнение x3-x2-9x-6 = 0.

ТЕМА 4. Рациональные неравенства.

Определение. Повторение общих правил решения линейных  и квадратичных неравенств к решению более сложных неравенств. Графический метод решения, метод интервалов. Использование применения равносильности неравенств. Детальное рассмотрение частных ошибок при решении неравенств.

Для решения рациональных неравенств степеней, больших второй, и дробно-рациональных неравенств лучше использовать метод интервалов. Идея метода интервалов для решения неравенств вида Р(х) > 0, где Р(х) – заданный многочлен, заключается в следующем. На числовой оси выделяются интервалы, на которых функция, стоящая в левой части неравенства, имеет постоянный знак и отмечаются точки, в которых рассматриваемое выражение равно нулю. На каждом из получившихся интервалов ставят знак левой части на данном интервале и записывают ответ.

Пример 1. Решить неравенство -x2-2x+3 > 0.

Пример 2. Решить неравенство (2x+1)4(2-x)(x-1)4(x-3)7(3x-2) < 0.

Пример 3. Решить неравенство (x2-11x2+39x-45)/(x+2) ? 0.

Пример 4. Решить неравенство 1/x < 2.

ТЕМА 5. Уравнения с модулем.

Повторение свойств модуля и решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Выявление типичных ошибок при решении уравнений с модулем.

Уравнения вида |f(x)| = g(x) можно решать двумя способами.  Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности двух систем

f(x) > 0,

f(x) = g(x),

 

f(x) < 0,

-f(x) = g(x).

 

 

 

 


 

|f(x)| = g(x)

 

 

Второй способ состоит в переходе  от исходного уравнения к равносильной системе

                                  g(x) ? 0,

|f(x)| = g(x)                 f(x) = g(x),

                                  f(x) = -g(x).

Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции g(x) и не очень сложного – для функции f(x); второй способ, наоборот, удобнее использовать, если выражение для функции g(x) не сложно.

Пример 1. Решить уравнение |x+2| = 6-2x.

Пример 2. Решить уравнение |x2-2x-1| = 2x+2.

Пример 3. Решить уравнение |3x+4|+2|x-3| = 16.

ТЕМА 6. Рациональные неравенства с модулем.

Повторение свойств модуля и решение неравенств, содержащую неизвестную под знаком абсолютной величины.

Решение неравенств с модулем строится аналогично решению соответствующих уравнений. Лишь на этапе освобождения от модуля решается, естественно, не уравнение, а неравенство.

Пример 1. Решить неравенство |x-4|+|x+1| < 7.

Пример 2. Решить неравенство |x2-2x| ? x-1.

Пример 3. Решить неравенство 2|x2-1| > x+1.

ТЕМА 7. Заключительное занятие.

 Обобщение полученных знаний. Итоговое тестирование с целью проверки прочности полученных знаний и умений.             

Вариант 1 (вариант 2).

1.     Решите уравнение 3x2-7x+4 = 0 (3x2-7x+6 = 0);

2.     Решите неравенство 8x2+11x+4 > 0 (5x2+6x+2 > 0);

3.     При каких значениях параметра а уравнение (a+4)x2+6x-1 = 0 ((a+2)x2-3x+1 = 0) имеет единственное решение?

4.     При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)x2+(2a+6)x-3a-9 = 0 имеет более одного корня? (При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения 3x2+30x+a = 0 равна 40?)

5.     При каких значениях параметра а уравнения х2-х+3а = 0 и ах2-х+3 = 0 (х2-3а3/2х+а2 = 0 и    х2/а2-3vах+а2 = 0) имеют хотя бы один общий корень?

6.     Пусть х1 и х2 – корни уравнения 3х2-ах+2а-1 = 0. Вычислите х13+х23. (При каких значениях параметра k уравнение x2+6x+k = 0 не имеет положительных корней?)

7.     Решите уравнения: а) 1/х = (3-2х)/(х2+х-4); б) (х2-3х+2)/(3-х) = 2-2х           (а) 1-25/х2 = 24/х; б) (х2-7х+6)/(3х-18) = 0).

8.     Решите уравнение |3х-1| = х+2 (х2+|х-1| = 1).

 

Список использованной литературы.

 

1.     О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев «МАТЕМАТИКА: интенсивный курс подготовки к экзамену», АЙРИС ПРЕСС Москва 1998.

2.     «БОЛЬШОЙ справочник. Математика для школьников и поступающих в вузы». ДРОФА Москва 2004.

3.     В. В. Мочалов, В. В. Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами». Издательство Чувашского Университета. Чебоксары 2000.

4.     В. В. Сильвестров «Обобщенный метод интервалов». Издательство Чувашского Университета. Чебоксары 1998.

5.     В. Г. Агаков «Элементарная математика и начала анализа» . Чебоксары 2006.

 

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ. ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ.
Сайт сделан по технологии "Конструктор школьных сайтов".