Село наше возникло очень давно. Говорят, что ему более 500 лет. О возникновении села рассказывают много легенд. Вот одна из них.
Когда-то на месте нашего села были непроходимые леса и болота. И вот сюда пришли люди - ссыльные. Они вырубили леса, осушили болота. Появился первый дом и первый огород. В этот самый первый дом поселилась ссыльная женщина. Звали ее Ольга, фамилия Ши. С тех пор маленькую деревеньку стали называть Ольгаши. Шли годы, деревенька росла, и в скором времени ее переименовали в Алгаши. А так как в деревне жили только русские, то и назвали ее Русские Алгаши.
До революции 1917 года люди жили сельской общиной, были государственными крестьянами. Они платили налоги и несли различные повинности в пользу государства. Жили они среди лесов в крайней бедности. Домики были маленькие, крытые соломой. Они занимались земледелием, животноводством, бортничеством и охотой. Но своего урожая едва хватало, так как крестьяне кроме налогов платили большой оброк пану, господствовавшему в этих местах. В зимний период, чтобы прокормить семью, крестьяне вынуждены были уходить на заработки в лес. Люди были неграмотны и забиты. Революция вселила в души крестьян веру, что придут времена счастливой и свободной жизни. Между крестьянами была поделена земля- главное богатство земледельца.
Кроме общепринятой легенды возникновения Алгашей от Ольги Ши существует и другая легенда. Основание Алгашей связано с возникновение Курмыша, у которого редкая судьба, хотя бы потому, что древний город превратился в село, а в середине века являлся крупным центром обширного малонаселенного края. Курмыш был основан в 1372 году и его основателем был князь Борис. Владения вокруг Курмыша захватили нижегородские монастыри. Спасаясь от золотоордынских отрядов, люди бежали и стали расселяться в верховьях Волги. И более надежным убежищем стал не Курмыш, а глухие недоступные места в темных лесах, окруженных непроходимыми болотами. Простые русские люди стали обживаться на мелких притоках Суры. Здесь на берегах Алгашки они и нашли такое спокойное место. Алгашка в то время была полноводной речкой. Именно поэтому беглые люди и нашли здесь более удобное место жительства.
Утверждают, что наши Алгаши старше Алатыря и Ядрина на 100 – 150 лет, а моложе Больших Алгашей всего на 50 лет.
А название Алгаши было дано по названию своих прежних мест жительства. И сначала села имели общее название: Алгаши и лишь потом разделились на Большие, Русские и Чувашские Алгаши.
В 1908 году на средства прихожан между деревнями Русские Алгаши и Чувашские Алгаши была построена церковь - Церковь Воздвижения креста Господня. Церковь деревянная, теплая, длина с колокольней 13 сажен, наибольшая ширина 5,5 сажен. На церкви одна глава. Иконостас: длина - 6 сажен, высота - 4 сажен. Колокольня 3-х ярусная, высота - 7,5 сажен.
В связи с массовым закрытием церквой по Чувашии, церковь перестала функционировать в 1929 году, ее закрытие юридически оформлено.
Жалоба от 1937 года по ходатайству религиозного общества села Русские Алгаши об открытии церкви была рассмотрена на заседании комиссии по вопросам культа при ЦИК ЧАССР. Решение комиссии: жалоба необоснованна, церковь не функционирует с 1929 года, ее закрытие юридически оформлено, однако здание до сих пор не переоборудовано под культурно - просветительское учреждение, такое положение недопустимо, это дает возможность церковному активу, опираясь на законы, требовать возвращения церкви, что вызывает неблагоприятное настроение среди населения.
Здание церкви было переоборудовано, и в нем была открыта школа.