Элективный курс

         Тема: Текстовые задачи на ЕГЭ

 Пояснительная записка. 

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников на ЕГЭ. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами.

В данном курсе сделана попытка обобщить все полученные школьниками знания и опыт в решении задач, поэлементного обучения решению текстовых задач, а также рассмотрены их основные сюжетные варианты. Вместе с тем даны основные способы решения задач, не входящих в школьный курс, таких как расчеты при смешивании жидкостей, газов, порошков, сплавов металлов. Рассмотрены задачи на движение со сложными условиями и задачи на движение по окружности.

Особое внимание в курсе уделено задачам, решение которых требует составления уравнений, неравенств и их систем.

Ограниченность времени  на решение задач и изучение их в среднем учебном звене не позволяет учащимся хорошо усвоить материал, который к старшему курсу уже забывается. Полезность данного курса состоит в том, что его занятия помогают восстановить и систематизировать прежние знания , умения навыки и получить новые, которые пригодятся школьникам и при сдаче ЕГЭ, и при поступлении в ВУЗы.

Данный курс является развитием системы ранее приобретенных знаний, расширяет спектр задач, посильных учащимся, развивает логическое и абстрактное мышление учащихся.

Тематический план.

Содержание.

ТЕМА 1 (2 часа)

Основные типы задач, изучаемых в 5-9 классах:

-         задачи на плановые задания;

-         задачи на изменение количества;

-       задачи на площадь прямоугольника;

-       задачи на сплавы и смеси;

-         задачи на движение:

-         задачи на движение по реке;

-              задачи на составление систем уравнений.

ТЕМА 2(4 часа)

Задачи на сплавы, смеси, процентную концентрацию, способы их решения.

Формулы сложных процентов. Задачи на применение формулы сложных процентов.

ТЕМА 3(4 часа)

Задачи на движение со сложными условиями. Примеры задач на движение по окружности. Формулы расчета времени, скорости, длины пути при движении по окружности.

Дидактические материалы к элективному курсу

“Текстовые задачи на ЕГЭ”

Занятие 1

1.      Обзор основных типов текстовых задач школьного курса алгебры.

Различают следующие типы задач:

1)      задачи на выполнение плановых заданий;

Много задач такого типа решается в начальной школе и 5 классе. При решении этих задач можно обойтись вычислениями по действиям или составлением простого линейного уравнения.

     На строительстве плотины укладчики бетона, перевыполняя дневную норму на 180 м³, не только выполнили 10-дневное задание за один день до срока, но и уложили дополнительно 320 м³ бетона. Сколько кубометров бетона должно быть уложено за 10 дне1 по плану?

        Обозначив дневную норму за х, выразите:

1)      сколько кубометров бетона должно быть уложено за 10 дней по плану;

2)      сколько кубометров бетона укладывалось за 1 день;

3)                 сколько кубометров бетона было уложено за 1 день до срока. Сравните  количество бетона (в м³), уложенное за 1 день до срока, с количеством бетона, которое планировалось уложить за 10 дней, и запишите уравнение.

Решите уравнение и запишите ответ задачи.

Дополнительные вопросы: На сколько % перевыполнялась дневная норма ? Сколько кубометров бетона будет уложено за 10 дней, если укладчики будут продолжать работать в том же темпе?

2)      задачи на изменение количества;

  В одном овощехранилище было 440т. картофеля, а в другом – 408т. С первого ежедневно вывозили по 60т, а во второе ежедневно завозили по 48т. картофеля. Через сколько дней во втором овощехранилище окажется в 3 раза больше картофеля, чем в первом?

Обозначив искомое число дней за х, выразите:

1)          число тонн картофеля, вывезенного за х дней с первого хранилища;

2)          число тонн картофеля, завезенного за х дней во второе хранилище;

3)          число тонн картофеля, оставшегося через х дней в первом хранилище;

4)          число тонн картофеля, оставшегося через х дней во втором хранилище;

Сравните количества картофеля, оказавшегося через х дней в овощехранилищах, и запишите уравнение.

Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

Дополнительные вопросы: На сколько % больше картофеля было в первом овощехранилище, чем во втором? На сколько % больше картофеля оказалось во втором овощехранилище, чем в первом, через два дня?

3)      Задачи на сплавы и смеси;

Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально?

Обозначив буквой х первоначальную массу сплава в кг, выразите:

1)      массу меди в сплаве;

2)      массу сплава после добавления цинка;

3)      отношение массы меди к новой массе сплава.

Составьте уравнение, учитывая, что процент содержания меди в полученном сплаве известен. Решите уравнение и найдите массы меди и цинка в первоначальном сплаве.

Дополнительные вопросы: Сколько цинка нужно было добавить в первоначальный сплав, чтобы его процентное содержание составило 50%?  Можно ли, добавляя в первоначальный сплав равные массы меди и цинка, получить сплав, содержащий 50% цинка?

4)      задачи на площадь прямоугольника;

Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой обнесен сад, окажется меньше, если прямоугольный участок земли заменить квадратным той же площади. Для этого длину участка надо уменьшить на 40м, а ширину увеличить на 30м. Каковы длина и ширина выделенного участка?

Обозначив сторону квадратного участка буквой х, выразите:

1)      длину и ширину прямоугольника;

2)      площадь квадрата;

3)      площадь прямоугольника;

Составьте уравнение, учитывая, что площадь квадрата равна площади прямоугольника. Решите уравнение и найдите длину и ширину прямоугольного участка. Запишите ответ.

Дополнительные вопросы: На сколько метров длина изгороди квадратного участка будет меньше? На сколько % меньше длина изгороди у квадратного участка, чем у прямоугольного?

Домашнее задание: Вопросы к задачам внести в справочник по решению таких типов задач.

Занятие 2

5)      задачи на движение;

Различают движение в одну сторону, в разные стороны и движение навстречу друг другу. При этом разными способами находится скорость сближения и расстояние между движущимися объектами.

 Из А в В со скоростью 66 км/ч отправился товарный поезд, а спустя 20 минут от станции В в направлении станции А вышел скорый поезд, проходящий в час 90 км. На каком расстоянии от А встретятся поезда, если длина перегона АВ равна 256км?

Обозначив время движения в часах товарного поезда до встречи со скорым буквой х, выразите:

1)время движения скорого поезда;

2)путь, пройденный товарным поездом до встречи со скорым;

3)путь, пройденный скорым поездом до встречи с товарным;

Учитывая, что сумма путей, пройденных обоими поездами до их встречи, равна АВ, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи.

Дополнительные вопросы: Какой из поездов прошел до встречи больший путь? Какой из поездов прибыл раньше, товарный на станцию В или скорый на станцию А?

Из М и N велосипедист ехал по шоссе со скоростью 16км/ч, а обратно возвращался по проселочной дороге, которая была на 6км длиннее, со скоростью 12 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4ч?

Обозначив длину пути по шоссе в километрах буквой х, выразите:

1)      длину пути велосипедиста по проселочной дороге;

2)      время в часах, затраченное велосипедистом на путь по шоссе;

3)      время в часах, затраченное велосипедистом на путь по проселочной дороге.

Учитывая, что время, затраченное на весь путь, известно, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

Дополнительные вопросы: Какую среднюю скорость имел велосипедист на всем маршруте? Сколько времени затратил бы велосипедист на весь путь,  если бы по проселочной дороге он ехал на 3 км/ч быстрее, а по шоссе – на 4 км/ч медленнее?

6)      задачи на движение по реке;

Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2часа, а обратно – против течения за 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2км/ч

Обозначив собственную скорость катера в км/ч буквой х, выразите:

1)      скорость катера по течению и скорость против течения;

2)      путь, пройденный катером по течению, и путь, пройденный против течения.

Учитывая, что по течению и против течения пройден одинаковый, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.

Лодка проплыла по течению реки на 11 км больше, чем против течения, затратив на весь путь 3 часа. Зная, что скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч, определите, сколько всего километров проплыла лодка.

Обозначив буквой х расстояние в километрах, пройденное лодкой против течения реки, выразите:

1)      расстояние в километрах, пройденное лодкой по течению;

2)      скорость лодки по течению и против течения реки;

3)      время движения лодки по течению и против течения реки.

Учитывая, что  на весь путь лодка затратила 3 часа, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ.

Дополнительные вопросы: Какова средняя скорость движения лодки на всем пути? Сколько времени потребовалось бы лодке, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде?

Домашнее задание: разобрать основные типы задач на движение, составить справочник по их решению

Занятия 3-6

2.      Задачи на сплавы и смеси.

Эти задачи представлены в школьном курсе недостаточно полно, но на предметных олимпиадах или ЕГЭ как правило, присутствуют всегда. Поэтому цикл занятий посвящен именно таким задачам.

Решение этих задач  связано с понятиями “концентрация”, “процентное содержание”, “проба”, “влажность” и т.д. и основано на следующих допущениях:

1)                        все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2)                        Не делается различия между литром как единицей массы и литром как единицей ёмкости.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А,В,С, которые имеют массы соответственно m₁,m₂, m₃, то величины      ( , ) называются концентрацией вещества А (В,С) в смеси. Величина ·100% (·100%, ·100%) называется процентным содержанием вещества А (В,С) в смеси.

Ясно, что ++=1, то есть от концентрации  двух веществ зависит концентрация третьего.

Пример:  Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Решение: Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олова в первоначальном сплаве и в полученном.

   В 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т.е. 12·кг олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили х кг олова. Тогда получилось (12+х) кг нового сплава, в котором олова стало 60%, т.е. кг.

Таким образом, получим следующее уравнение:+х=

Решив это уравнение, найдем, что х=1,5. По смыслу задачи х>0. Найденное значение х этому условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова.

Задача для самостоятельного решения. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали одного и другого сорта нужно взять, чтобы после переплавки получить 140тонн стали с содержанием никеля 30%?

Из сосуда, содержащего 54литра чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой кислоты 24литра.Сколько кислоты вылили первый раз?

Решение: Пусть первый раз вылили х л кислоты.. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54литра смеси, содержащей (54-х)л кислоты. Значит, в 1л смеси содержится л кислоты. Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, т.е. кислоты вылили л кислоты, а всего за два раза вылили          54-24=30(л) кислоты. Таким образом, получили следующее уравнение: х+·х=30. Решив это уравнение, находим два корня, х₁=90 и х₂=18. по смыслу задачи 0<х<54 . Из найденных значений х этому условию удовлетворяет только  х=18. Следовательно, в первый раз вылили 18л. кислоты.

При решении задач на переливания используется формула С_n=(1- )ⁿ, которая тесно связана с формулой сложных процентов. Мы говорим, что имеем дело со “cложными  %” , в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз её изменение составляет определённое число % от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Некоторая величина А, исходное значение которой равно А₀, в конце первого этапа будет равна А₁=А₀+·А₀= А₀ ·(1+), в конце второго этапа её значение будет равно  А₂=А₁+·А₁= А₁ ·(1+)= А₀ ·(1+)·(1+)= А₀ ·(1+)². Нетрудно понять, что в конце       n-ого этапа значение величины А определяется формулой         А_n=А₀ ·(1+)ⁿ.

Пример:В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число %. Найти это число, если в начале года завод выпускал 600 изделий в месяц, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Воспользуемся формулой сложных процентов                А₂= А₀ ·(1+)²,  . А₂=720,  А₀=600,  720=600 ·(1+)²  Решив уравнение, получаем,  (1+)²=1,21 или 1+=1,1 Таким образом р=10%.

Задача для самостоятельного решения. На книгу повысили цену сначала на 10%, затем ещё на 20%. На сколько % больше стала стоить книга в результате обоих повышений цены?

Занятия 7-10

Задачи на движение.

При решении этих задач принимают следующие допущения:

1)             если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным и путь вычисляется по формуле S=V·t.

2)             Скорость считается величиной положительной.

3)             Всякие переходы на новый режим движения, на новые направления движения считают происходящими мгновенно.

4)             Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения по реке считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

Если речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что плот движется со скоростью течения реки. К задачам “на движение” относятся так же и задачи, в которых кто-либо выполняет какую-нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров.

 В задачах на составление уравнений вообще и в первую очередь в задачах на движение  полезно составить иллюстративный чертёж. Этот чертеж следует делать таким, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми характерными моментами- встречами, остановками и поворотами. Хороший чертеж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в ее текст. При решении задач “на движение” часто встречаются следующие 2 элемента:

А) движение навстречу друг другу; если первоначально расстояние между двумя точками, движущимися навстречу друг другу со скоростями V₁и  V₂ равно S₀, то время, через которое они встретятся, равно T=.

Б)движение в одном направлении; если первоначально расстояние между двумя точками, одна из которых догоняет другую со скоростями V₁и  V₂ равно S₀, то время, через которое они встретятся, равно T=.( V₂>V₁)

Для математической записи условия задачи нужно решить вопрос, какие неизвестные ввести в рассмотрение. В основу выбора неизвестных может быть положен простой принцип: неизвестные следует выбирать так, чтобы с их помощью наиболее легко записать в виде уравнений имеющиеся в задаче условия. При этом вовсе не обязательно, чтобы величина, которую требуется определить, фигурировала в числе неизвестных.

Условия задачи удобно записать в виде таблицы.

Города А и В расположены на реке, причем В расположен ниже по течению. В 9 часов утра из города А в город В отправился плот и одновременно с ним из города В в А отправилась лодка, которая встретилась с плотом через 5часов. Доплыв до города А, лодка повернула обратно и прибыла в город В одновременно с плотом. Успеют ли лодка и плот прибыть в город В к 9 часам вечера того же дня?

Выделим из условия задачи предложения, математическая запись которых образует уравнения. Их два: 

Получается система двух уравнений с тремя неизвестными, которые однозначно найти нельзя. В задаче требуется узнать, успеют ли лодка и плот приплыть в В к 9 часам вечера, то есть, больше или меньше 12 часов время движения лодки. Так как это время равно , то выясняется, что надо найти не сами величины, а их отношение. Система уравнений принимает вид

 =5,

=+

Из второго уравнения определяется отношение U/V, оно равно -1 После этого определяется отношение S/U, оно равно 5(+1)>12. Значит лодка и плот не успеют приплыть в пункт В к 9 часам вечера того же дня.

Задача для самостоятельного решения: Два школьника вышли одновременно из дома в школу с одинаковой скоростью .Через три минуты один из них вспомнил, что забыл дома нужную книгу, и побежал обратно со скоростью, на 60 м/мин большей первоначальной. Взяв книгу, он  побежал обратно с такой же скоростью и догнал товарища, который шел с постоянной скоростью, уже у дверей школы. Найдите скорости учеников, если расстояние от дома до школы равно 280 м.

Задачи на движение по окружности.

Если два тела движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями V₁  и V₂ в разных направлениях, то время между их встречами вычисляется по формуле T= 

Если два тела движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями V₁  и V₂ (V₁  > V₂ )в одном направлении, то время между их встречами вычисляется по формуле T=

Пример: Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 1м с постоянными скоростями, встречаются через каждые 6 секунд. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе  каждые 48 секунд. Найти линейные скорости этих тел.

Решение: Обозначим скорости тел V₁  и V₂ соответственно. Тогда в согласии с условием получаем  T₁==6, T₂==48

Объединим уравнения в систему и перепишем их в виде :

 V₁+V₂=,     Решив систему, получаем V₁=, V₂=

 V₁-V₂=.

Задача для самостоятельного решения: Два пони по сигналу дрессировщика одновременно побежали вдоль арены цирка в противоположных направлениях. Первый пони бежал быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5м больше, чем второй. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику через 9 секунд после встречи со вторым пони, а второй – через 16 секунд после встречи. Каков диаметр арены?

Задания для зачетной работы

1. Почтальон проехал на мотоцикле от почты до села со скоростью 30 км/ч. Назад он возвращался со скоростью , составляющей 1/5 скорости его движения на мотоцикле, поэтому на обратный путь он затратил на 1 час 12 мин больше, чем от почты до села. Найдите расстояние от почты до села.

2. Для приготовления маринада необходим 2% -ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

3. Два насоса разной мощности, работая одновременно, наполняли бассейн водой за 4 часа. После реконструкции производительность первого насоса увеличилась на 20%, а второго на 60%. Теперь они работая одновременно, наполняют бассейн за 3 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первый насос после реконструкции?

ЛИТЕРАТУРА: 

1              И.Н.Сергеев, С.Н.Олехник, С.Б.Гашков.   Примени математику. Москва, Наука, 1989г.

2              М.В.Лурье, Б.И.Александров. Задачи на составление уравнений. Москва, Наука, 1990г.

3              Ж. Математика в школе № 1, 1991г.

4              Н.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение , 2001г.

5              Сборник конкурсных заданий по математике для поступающих в ВУЗы (под ред. М.И.Сканави).М.: Высшая школа, 2000г.

6              А.Г.Цыпкин, А.И.Пинский. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. М.:Наука, 1983г.

7              Журнал « Математика в школе», №1 2006 год.

Внеклассное мероприятие, проведенное в 5 классе. 

«Звездный час дроби».

  Цели мероприятия:

• закрепить умения и навыки сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
• воспитание целеустремленности, ответственности;
• развитие интереса к предмету.

  Над каждой карточкой есть номера. Буду задавать вопросы, а вы должны находить ответы из этой таблицы, поднять тот номер, под которым стоит ваш ответ.

  Вы должны ответить правильно и быстро. Кто быстрее и правильно ответит, получит звездочку.

  После каждого тура  будем считать звездочки. У кого меньше всего звездочек, тот будет выбывать из игры. А у кого больше всех – для них будет проводиться игра «открой ящик».

  В финале должны остаться два участника.

  I тур.

На доске вывешена таблица со следующими дробями: 

    1               2                3                 4               5             6               7               8

1. Какая из дробей выражает  «четверть»?           (  4 )

2. Покажите дробь, равную 4.        ( 7 )

3. Какие дроби выражают половину?       ( 2; 5 )

4. Покажите дробь, большую 1, но меньше 2.   ( 3 )

5. Покажите неправильные дроби.      ( 3 и 7 )

6. Покажите равные дроби.

7. Какая из дробей больше    87    или  78 ?

                                                 100         100

8. Какая из дробей выражает «треть»? 

  II тур.

Составление дробей из цифр.

Из коробки выкатываются кубики с цифрами. Составить из них всевозможные дроби.

Учащийся, у которого меньше всего, выбывает из игры. Он награждается поощрительным призом.

  III тур.

Логические цепочки. 

       1                          2                       3                           4

1. Расположите дроби в порядке возрастания    ( 2 и 3)
2. Вычислите и покажите правильный ответ, подняв соответствующую табличку      1 -    7

                                  12

3. Вычислите:    5  + 6

                                 12    12

4. Вычислите:   9  - ( 3 + 5 )

                                12     12   12

5. Решите уравнение:  х – 3 = 2

                                                 12   12

6. Исключите лишнюю дробь:

1                       2                            3                         4

 7. Какая из этих дробей больше 1?   ( 3)

Проводится игра «открой ящик».

  IV тур.

Смешанные числа.

    1                          2                          3                         4                         5

1.      Выделите целую часть дроби   15

                                                                  7

        2.   Найдите   2        от 40?

                                5

3.   Выделите целую часть дроби   25

                                                            7

4. Запишите в виде неправильной дроби    5 3

                                                                            7

5. Сложите дроби.  14 6 + 1 1

                                      7       7

  V тур.

  Написать математические термины, начинающиеся на буквы, из которых состоит слово «квадрат».

  Побеждает тот, кто за одну минуту напишет больше слов.