Родился 10 августа 1924 года в деревне Басурманы ныне Моргаушского района Чувашии в семье крестьянина. Чуваш. В 1941 году окончил Орининскую сельскую школу. Работал в колхозе «Аврора».
В августе 1942 года был призван в Красную Армию Сундырским райвоенкоматом. Воевал на Западном, Юго-западном, Степном, 2-м и 3-м Украинских фронтах. К весне 1944 года красноармеец Мешаков - автоматчик роты автоматчиков 1292-го стрелкового полка 113-й стрелковой дивизии. Особо отличился при форсировании реки Южный Буг.
В ночь на 25 марта 1944 года в составе первой группы красноармеец Мешаков преодолел реку Южный Буг в районе села Виноградный Сад (Доманевский район Николаевской области). Бойцы захватили участок берега и удерживали его до прибытия подкрепления. Мешаков участвовал в отражении 9 контратак противника, лично уничтожил несколько гитлеровцев. В наградном листе отмечалось: «…Действуя решительно и инициативно, выдвинувшись вперед, фланкирующим огнем своего автомата обеспечил успех всей группы, разгромив немцев, захватил траншеи и удержал их. Проявляя отвагу и геройство, воодушевлял бойцов на подвиги с численно превосходящим противником в исключительно трудных условиях...».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками красноармейцу Мешакову Илье Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5429).
В составе сводного полка 3-го Украинского фронта участвовал в Параде Победы. После войны был демобилизован.
Работал в городе Перово Московской области и без отрыва от производства окончил среднюю школу. Член ВКП(б)/КПСС с 1946 года. В 1951 году окончил Центральную комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ. Был на комсомольской и партийной работах: секретарь Моргаушского райкома ВЛКСМ, заведующий отделом, затем — секретарь Моргаушского райкома КПСС.
В 1954 году работал учителем в Моргаушской средней школе. В 1956 году заочно окончил Чувашский педагогический институт. Работал директором 8-летней школы в селе Ярабайкасы. Делегат Всесоюзного съезда учителей в 1968 году. Скончался 12 октября 1971 года после продолжительной и тяжелой болезни. Похоронен на сельском кладбище в близ села Акрамова Моргаушского района.
Мешаков Илья Григорьевичнагражден орденами Ленина, «Знак Почета», медалями, нагрудным знаком «Отличник народного просвещения».
Его имя увековечено в селе Моргауши на Аллее Героев, там же на здании школы установлена мемориальная доска.