это должен уметь каждый

Проверить, и убедится в справедливости теоретических знаний «Механики твердого тела». Кроме этого любой эксперимент дает возможность углубить знания, развить творческие способности, а подбор оборудования и его изготовления развивает технические навыки и умения.

Введение.

При изучении курса механики в 9 классе, мы выполняли лабораторную работу, где надо было определить ускорение, с которым шарик скатывался по наклонному желобу по формуле a = 2S/t²^.Затем решали задачи на закон сохранения энергии при сталкивании шарика, с наклонной плоскости, со сферы и никогда не учитывали тот факт, что шарик еще участвует во вращательном движении, а не только в поступательном, то есть, считаем шарик материальной точкой. А в жизни не всегда можно пренебречь размерами вращающегося тела. Курс «Физика-9» был интегрирован с астрономией и при изучении движения планет, их спутников, комет, при округлении ускорения свободного падения на других планетах не ясными оставались вопросы, связанные с вращением их вокруг оси. А в 10 классе, когда мы начали изучать «Физика-10» под редакцией Пинского, мы нашли ответы на многие вопросы, изучая раздел «Механика вращательного движения» мы познакомились с такими понятиями как момент инерции тел, угловым ускорением, законом сохранения момента импульса и законом сохранения энергии, где учитывалась энергия вращательного движения.

И вот тогда, вникая в суть этого интереснейшего раздела, мы учились решать задачи, связанные с этими новыми понятиями. Но задачи, это теория, хотелось проверить эти знания на практике. Это послужило толчком провести эксперимент с вращающимися телами.

Момент инерции.

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

J = ∑ m_¡ r_¡²

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

J = ∫ r²dm

Где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x,y,z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительного геометрической оси. (рис. 1) Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним – r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dj = r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра. 2 πrhdr – обьем рассматриваемого элементарного цилиндра. Если p – плотность материала, то его масса

dm = p∙ 2 πrhdr и dj = 2 πhpr³dr

Тогда момент инерции сплошного цилиндра

J = ½ π hR⁴p

Но так как π R²h – объем цилиндра, то его масса m = πR²hp, а момент инерции

J = ½mR².

Кинетическая энергия вращения.

Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к ним сил деформируются, то есть тем или иным образом изменяют свою форму. Для упрощения дальнейших рассуждений введем понятие абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками, или, точнее, между двумя частицами этого тела остается постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси ОО, проходящей через него (рис.2). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂, …,m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…,r_n, от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mn опишут окружности различных радиусов и будут иметь различные линейные скорости υ_n. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

ω = υ₁/r₁ = υ₂/r₂ =…=υ_n/r_n (1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

T_тв= m₁υ₁²/2 + m₂υ₂²/2 +…+ m_nυ_n²/2

Или

T_тв = Σ m_iυ_i²/2

Используя выражение получим:

T_тв = Σ m_iυ²/2 r_i² = ω²/2 Σ m_ir_i² = Jω²/2. (2)

Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (T = mυ² /2), следует, что момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости.

Формула (2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела (колеса), катящегося по горизонтальной поверхности, энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

T = mυ²/2 + Jω²/2.

Где m – масса катящегося тела, υ- скорость поступательного движения, J – момент инерции тела, ω – скорость вращательного движения.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой-либо силой, то кинетическая энергия вращения возрастает на величину затраченной работы. Работа зависит от действующей силы и от произведенного ею перемещения, однако выражение работы для смещения материальной точки при вращательном движении неприменимо, так как в данном случае перемещение угловое.

Найдем выражение ля работы при вращении тела (рис. 3). Пусть сила F приложена в точке B, находящейся от оси вращения на расстоянии r,ά – угол между направлением силы и радиусом вектором. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dφ точка приложения B проходит путь ds = rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA = F sinά rdφ

Величина

M = Fr sinά

Называется моментом силы относительно оси вращения;

r sinά = 1

есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы. Момент силы равен произведению силы на плечо:

M = F1

Момент силы – величина векторная. Так как 1 = sinά, то вектор

M = (rF)

Момент количества движения и закон его сохранения.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения (моментом импульса) L_iотдельной частицы тела массой m_iназывается произведение расстояния r_iот оси вращения до частицы на количество движения (импульс) m_iV_i этой частицы:

L_i = m_iυ_ir_i

Моментом импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц:

L = Σ m_iυ_ir_i

Так как для вращательного движения υ_i = ωr_i, то

L = Σ m_ir_iω = ω Σm_ir_i^²= Jω

L = Jω

Гироскоп.

Гироскоп – это укрепленное в специальном подвесе быстро вращающееся симметрично тело, ось вращения которого (ось симметрии) может изменять свое положение в пространстве. Карданов подвес устроен следующим образом: на стойке закреплено внешнее кольцо, которое может вращаться около сои AA₁(рис. 5). Внутри его расположено второе кольцо, оно имеет ось вращения BB₁, перпендикулярную AA_1.Внутри последнего кольца вокруг оси CC₁, перпендикулярной BB₁, вращается гироскоп О. Благодаря такому устройству ось гироскопа может свободно поворачиваться и занимать любое положение в пространстве.

Момент внешних сил, действующих на гироскоп, равен нулю. Поэтому к гироскопу можно применить закон сохранения момента импульса: момент импульса гироскопа остается постоянным, не изменяется и направление оси вращения в пространстве.

Гироскоп является основной частью всех гироскопических приборов (указателей курса, поворота, горизонта, гирокомпаса, автопилота, авторулевого и др.). Внутри этих приборов вращаются с частотой в несколько десятков тысяч оборотов в минуту небольшие роторы, укрепленные в специальном подвесе. Корпус прибора можно поворачивать как угодно, а ось вращающегося гироскопа будет сохранять неизменное положение в пространстве.

Гироскопические приборы применяются для автоматического управления движением самолетов и кораблей. Для поддерживания заданного курса корабля служит авторулевой, а самолета – автопилот. При отклонении корабля от курса карданов подвес поворачивается относительно корабля так, чтобы ось гироскопа сохраняла свое прежнее направление. При этом специальные электронные устройства выдают команду автоматам на поворот руля и возвращения корабля на заданный курс.

Эксперимент.

Рассчитать время скатывания шара с наклонной плоскости. Результат расчета проверить экспериментально.

Оборудование: штатив, доска, шар, линейка, секундомер.

Доска с помощью штатива устанавливается наклонно. Угол наклона не должен быть большим, чтобы шар не проскальзывал и погрешность измерения не возрастала слишком сильно. В то же время, если угол наклона очень маленький, увеличивается роль силы трения качения, которую трудно учесть.

Закон сохранения энергии для шара, скатывающегося с высоты h (рис.4), в пренебрежении работой силы трения качения имеет вид:

Mgh = mυ²/2 + Iω²/2

Где m – масса шара, υ – его конечная скорость, I – момент инерции, ω – конечная угловая скорость. Учитывая, что I = 0,4mR², ω = υ/R, где R – радиус шара, получим:

Mgh = mυ²/2 + 0,4 mR² υ²/2R² = 0,7 mυ²;

υ =

Время скатывания t можно рассчитать из выражения:

L= υ_срt= υt/2,

t_вр = 2L/υ = 1,6L/√gh.

t_вр= 1,6·0,9/√9,8·0,065=1,9с

Без учета энергии вращения:

t = 1,4L/√gh

t=1,4·0,9/√9,8·0,065=1,8с

Время замеренное по секундомеру равно: 2с

Вывод по эксперименту.

При проведении эксперимента мы выяснили, что с учетом энергии вращательного движения шарика, при скатывании его с наклонной плоскости результат; то есть время скатывания получилось ближе к замеренному секундомером.

Использование данной темы в жизни.

1. Определение периода обращения планет, их спутников, звезд, комет.

2. Уточнение скоростей движения планет.

3. В цирке, балете, спорте, когда человек вращается вокруг своей оси.

4. Движение транспорта на колесах.

5. В устройстве гироскопа, который используется во всех гироскопических приборах: указателей курса, поворота, горизонта, гирокомпаса, автопилота.

6. Частый случай закона сохранения момента импульса является второй закон Кеплера, открытый в 1609 году. «Радиус-вектор планеты за любые равные промежутки времени описывает равные площади»

Гимнаст во время прыжка через голову прижимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

7. Движение грузов на нити, перекинутых через блок.

Приложение.

Таблица 1.

Тело	Приложение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось	mR²
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же	½ mR²
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину	¹/₁₂ml²
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец	¹/₃ml²
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара	²/₅mR²

Литература.

1. «Физика-10», учебник под редакцией А.А Пинского.

2. «Курс общей физики. Том1» под редакцией И. В. Савельева.

3. «Всесоюзные олимпиады по физике» под редакцией И. Ш. Слободецкого, В.А Орлова.

4. «Физика для любознательных» под редакцией Эрика Роджерса.

5. «Механика» под редакцией С.Е. Каменецкого.

6. «Факультативный курс физики» под редакцией О.Ф. Кабардина.

7. «Силы в природе» под редакцией В.И. Григорьева.